Día de los inocentes

En España el día 28 de diciembre es el "día de los inocentes". Es un día para gastar bromas a los amigos, "inocentadas" se llaman, y hasta los períodicos inventan noticias falsas en tono jocoso. Otros días también las inventan pero sin ese tono de broma.

Triángulos y alturas, una buena broma.

En un triángulo cualquiera ABC, trazas las alturas de relativas a los tres lados.

Si unes los tres pies de las alturas obtienes un nuevo triángulo A1, B1, C1.

Observa atentamente este nuevo triángulo y las alturas.

Aunque no te lo creas, te digo que:

"Las tres alturas del primer triángulo ABC, son, curiosamente, las bisectrices de los ángulos del segundo triángulo"

¿Se trata de una inocentada, o no?

Descúbrelo tú mismo.

Tangentes enteras

La geometría elemental, la de Euclides, nos depara a veces sorpresas agradables. Aquí tienes un buen ejemplo. Un regalo para despedir bien el año.

Las dos circunferencias de la figura son iguales y tangentes en el punto T. Su radio mide raíz de 2.
Trazamos la recta tangente a la segunda circunferencia que pasa por A, y la recta tangente a esta circunferencia en el punto B. Ambas tangentes se cortan en el punto D.

Te aseguro que las medidas de los segmentos AD y BD son dos números enteros.

¿Serías capaz de demostrarlo?

Suerte.

Nota: No vale utilizar GeoGebra.

Paisajes fractales en Dispar-ART

El pasado día 28 de septiembre se hizo, en la sala de arte Ra del Rey, c/ Reina 11, de Madrid, la presentación de la revista dispar-ART, La revista más cara del mundo según se anuncia.
Y es verdad. Sólo se hacen 20 ejemplares de ella, compuestos por obras originales en cada uno de ellos.
La mitad se envían a los más prestigiosos museos del mundo y los otros 10 ejemplares se venden a un precio...desorbitado.
Al fin y al cabo es comprar casi 70 originales de 70 artistas, poetas y científicos de prestigio.



Mi contribución a este número de la revista son 20 "paisajes fractales" generados con el programa Ultra Fractal 5. Y sin retocar con ningún programa fotográfico.

Para conseguirlos sólo hay que navegar por el proceloso mar del Caos, buscando dentro de esos mundos llenos de irregularidades un poco de orden y armonía

¡Orden en el caos! La búsqueda de un sueño.

Aquí os dejo dos muestras:

Mar azul

Luna 1

Un mundo de sorpresas.

Si Euclides hubiese tenido GeoGebra

Los Elementos de Euclides son una de las joyas de las matemáticas de todos los tiempos.

Y dentro de esa joya hay algunas proposiciones espectaculares. Unas de las más llamativas son las del Libro XIII, las que van de la 13 a la 17.

En ellas Euclides nos muestra aristas de los poliedros regulares inscritos en una esfera de radio R.

La construcción es impresionante, como un castillo de fuegos artificiales.

Os suena, seguro...

Y las relaciones entre ellas constituye un magnífico baile de números racionales:

Te dejo, aquí, una reproducción de la construcción de Euclides que hice con GeoGebra: 

https://www.geogebra.org/m/zTRfgyEB

¡Ay, si Euclides hubiese tenido GeoGebra!

El joven Gauss y el polígono regular de 17 lados

Lectura de verano

El sorprendente encuentro entre la Aritmética, el Álgebra y la Geometría en la cabeza de un joven de 18 años. Entonces no había discotecas...

 Desde su llegada a Göttingen el joven Gauss siguió desarrollando de forma autónoma sus investigaciones sobre números que había iniciado en el Collegium. Sin duda, más fruto de estas investigaciones que de las enseñanzas de Kästner, cuando Gauss estaba en su casa de Brunswick, se va a producir un descubrimiento que será clave, no sólo en la carrera de Gauss, sino en el futuro de las matemáticas: el heptadecágono, el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás.

Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica. 

    Justo un mes antes de cumplir los 19 años.

Puedes disfrutar de un paseo veraniego por esta fascinante historia de las matemáticas aquí:   http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/decabeza/58decabeza.pdf

Construcción del polígono regular de 17 lados
Método de Gauss(1796), simplificada por H.W. Richmond (1893)

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los diámetros perpendiculares AA ́ y VV ́

2. Se obtiene un punto B, sobre el radio OA, tal que el segmento OB es la cuarta parte de OA

3. Se obtiene el punto C, sobre OV, tal que el ángulo OBC es la cuarta parte del ángulo OBV ( hay que bisecar dos veces un ángulo)

4. Se obtiene un punto D, sobre el diámetro VV ́, tal que el ángulo DBV sea de 45º ( se puede hacer bisecando un ángulo recto)

5. Se obtiene G, mitad del segmento DV, se dibuja la circunferencia con centro G y radio GV. Esta circunferencia corta al radio OA en el punto E.

6. Se dibuja la circunferencia con centro C y radio CE, dicha circunferencia corta a VV ́ en dos puntos: F y G

7. Se levantan perpendiculares a VV ́, pasando por F y G , que cortan a la circunferencia en V3 y V5.

8. La mitad del arco V3V5, nos da un punto T. El segmento V 3T es el lado del polígono regular de 17 lados.